Al Khwarizmi
Il œuvra à la fameuse « Maison de la Sagesse » crée par le calife al Ma’mun

Abu Ja’far Muhammad Ibn Musa al Khwarizmi al Qutrubbulli al Majusi serait né vers l’an 780 à Bagdad, mais déjà, cette information est contestée par certains chercheurs qui pensent que son nom Khwarizmi viendrait de sa ville d’origine : Khwarizm située au sud de la mer d’Aral. Il faut bien admettre qu’effectivement, nombre de scientifiques musulmans ont été désignés par leur ville ou région de naissance ou d’origine. Mais reconnaissons que cela ne saurait en aucun cas constituer une preuve. Pour ajouter à la confusion, l’historien al Tabari lui ajoute le nom de al Qutrubbulli en suggérant ainsi qu’il serait originaire de la région de Qutrubbull, proche de Bagdad et située entre le Tigre et l’Euphrate. Plus intéressant, quand il parle de lui, al Tabari rajoute parfois al Majusi, ce qui laisserait entendre qu’al Khwarismi aurait été à l’origine de confession Zoroastrienne. Toujours est-il que tous ses écrits montrent qu’il était un « bon musulman », preuve qu’il se serait converti à l’islam dans sa jeunesse… sans qu’il soit possible de préciser où, quand et en quelles circonstances.

On connaît très peu d’éléments concernant la vie d’al Khwarizmi, mais le peu que l’on en sait semble assez bien avéré. Ce qui est absolument sûr, c’est qu’il œuvra à la fameuse « Maison de la Sagesse » crée par le calife al Ma’mun auquel il « dédicaça » d’ailleurs deux de ses ouvrages (connus) : son traité sur l’Algèbre (« Hisab al-jabr w’al-muqabala ») et son traité sur l’Astronomie. Au départ, son rôle essentiel consistait à effectuer des traductions en arabe des ouvrages écrits en grecs et rassemblés dans la grande bibliothèque de Bagdad. C’est ainsi qu’il y travailla de longues années en compagnie des frères Musa. Mais bien vite, il éprouva le besoin d’ajouter des commentaires et des critiques aux traductions qu’il effectuait. Puis, tout naturellement, il commença à « poursuivre les recherches » entreprises par les Grecs et qui se révélaient bien souvent incomplètes. Soit parce qu’ils n’étaient pas allés plus loin, soit parce qu’une partie plus ou moins importante des documents avait été perdue.

C’est incontestablement son « Hisab al-jabr w’al-muqabala » qui resta le plus célèbre et qui assura à son auteur une célébrité qui traversa les siècles puisque c’est à partir de son titre qu’a été crée le mot ALGEBRE !

Ce qu’il est important de noter tout de suite, c’est que cet ouvrage n’était pas à proprement parler un ouvrage de Mathématiques au sens « théorique » du terme. Ainsi qu’il le dit lui même dans sa préface, il s’agissait d’un « ouvrage utile aux fonctionnaires et comptables chargés de résoudre des problèmes d’héritages, de legs, de partages suite ou non à un procès ou plus simplement des calculs commerciaux, des calculs de superficies de terrains, des calculs concernant des travaux publics (creusement de canaux) ou autres problèmes pratiques … ». Comme on le voit, il s’agissait d’un ouvrage essentiellement utilitaire mettant à portée de ceux qui en avaient besoin des « recettes simples » permettant de résoudre facilement des situations arithmétiques pouvant apparaître comme fort complexes.

Et l’ouvrage est bien tel qu’annoncé. Il ne ressemble en rien à un livre d’algèbre tel que nous en connaissons de nos jours. Ne serait ce déjà que par ce qu’il n’y apparaît AUCUNE EQUATION. En effet, les signes opératoires que nous utilisons si naturellement aujourd’hui ( +  -  x  :  = ) n’ont été « inventés » que bien plus tard en occident. En conséquence, toutes les opérations et calculs proposés par al Khwarizmi se présentent sous une forme littéraire où n’apparaissent que des mots et des chiffres. En effet, al Khwarizmi fut un gros utilisateur du nouveau système de numération importé d’Inde.

Il n’y a que dans le début de son ouvrage qu’al Khwarizmi présente sa nouvelle méthode de calcul (algèbre), mais très vite, il exprime que ce système a été mis au point par lui uniquement pour résoudre des problèmes quotidiens pouvant se poser dans le califat.

D’ailleurs, il note encore : « Chaque fois que se pose un problème, j’ai constaté que ce que demandent les gens ; c’est UN NOMBRE correspondant à la solution… Ayant compris et assimilé comment fonctionnent les nombres, je vais donc leur fournir le moyen simple de trouver ce qu’ils veulent. »

Notons aussi que dans ses calculs, al Khwarizmi se heurtait à des limites inhérentes à l’état des mathématiques de son temps. Ainsi, s’il connaissait et utilisait la numération décimale, il n’avait à sa disposition que les nombres entiers POSITIFS et des fractions simples. Les nombres décimaux (à virgule) et les nombres négatifs lui étaient totalement inconnus. Mais reconnaissons aussi que ce dont il disposait en numération lui était largement suffisant pour résoudre les problèmes pratiques qui pouvaient se poser ainsi que pour en formuler les résultats.

Il faut dire aussi qu’al Khwarizmi utilisait des termes bien susceptibles de nous dérouter dans la mesure où de nos jours, nous désignons les choses autrement. Pour lui, les « nombres » (généralement entiers) étaient des « unités ». Ce que nous appelons une « inconnue » et que nous exprimons par la lettre x, il l’appelait une « racine ». Quant à la « puissance de l’inconnue d’exposant 2 » (x²) , il la nommait « carré », ce qui ne nous dépayse pas trop en ce qui concerne cette dernière.

Examinons un problème tel qu’il pouvait se poser à al Khwarizmi :

Trois carrés et neuf racines augmentés de douze unités sont égaux à trois cent vingt deux unités diminuées de sept racines et augmentées d’un carré.

On mesure tout de suite la lourdeur d’un tel système que nous allons donc, par commodité, transformer en une écriture « normale ».

3x² + 9x + 12 = 322 - 7x + x²

Dans un premier temps, al Khwarizmi utilisait le procédé d’al-jabr consistant à faire disparaître les valeurs négatives de l’équation. Soit :

3x² + 16x + 12 = 322 + x²

Après quoi il utilisait le procédé d’al-muqabala permettant de réduire les valeurs positives des unités, racines et carrés quand elles figuraient des deux côtés de l’égalité. Ici, on procède en deux temps, d’abord sur les unités, puis sur les carrés :

3x² + 16x = 310 + x²

2x² + 16x = 310.

A ce moment, il devenait possible d’effectuer un autre type de « réduction » en divisant par deux les deux membres de l’égalité :

x² + 8x = 105.

 En utilisant l’al-jabr et l’al-muqabala, al Khwarizmi parvint à ramener « tous » les problèmes (qui pouvaient se poser à son époque) à SIX types d’équations :

ax = b

ax² = b

ax² = bx

x² + ax = b

x² + b = ax

x² = ax + b

On remarquera que pour nous, les équations 2 - 3 - 4 - 5 et 6 sont de même type et se résolvent toutes de la même façon.

C’est la fameuse équation du deuxième degré ax² + bx + c = 0 (avec ses cas particuliers). Mais al Khwarizmi était bien obligé de différencier toutes les variantes puisqu’il ne pouvait pas utiliser de valeurs négatives.

Comme on le voit, notre exemple correspond au quatrième « type » déterminé par al Khwarizmi. A partir de là, il était très souvent fait usage d’une méthode de résolution faisant appel à la géométrie.

On commence par dessiner ce que l’on a.

La partie colorée, jaune + orange, correspond à x² + 8x = 105.

On comble les coins de la figure (quatre petits carrés de 2 par 2 qui font 16) de façon a obtenir un grand carré. La partie colorée CARRÉE ( jaune + orange + rouge) vaut donc :

(x² + 8x) + 16 = 105 + 16 = (2 + x + 2)² = (x + 4)² = 121.

Le reste est un jeu d’enfant :

x + 4 = 11

Donc x = 7

 Maintenant, on pourra nous dire que l’exemple choisi avait été volontairement bien choisi et que la réduction par division par un même nombre des deux termes de l’égalité n’est pas toujours possible. C’est vrai. Alors quand cela ne marchait pas, al Khwarizmi utilisait des fractions, ce qui ne facilitait pas les calculs.

En ce qui concerne l’utilisation de la géométrie, on peut raisonnablement supposer qu’al Khwarizmi devait assez bien la maîtriser puisqu’un de ses collègues travaillant en même temps que lui à la Maison de la Sagesse avait justement comme tache de traduire « Les Eléments » d’Euclide. Il s’agit en l’occurrence d’al Hajjaj.

 Dans son ouvrage « Hisab al-jabr w’al-muqabala », al Khwarizmi étudie comment ses nouvelles méthodes peuvent permettre de résoudre des produits du type (a + bx) (c + dx). Son approche de ces problèmes fait incontestablement de lui le plus grand mathématicien de son temps.

Dans la suite de son travail, il s’attacha à d’autres problèmes pratiques tels le calcul de l’aire d’un disque ou le volume de solides comme la sphère, le cône ou la pyramide. Pour les historiens des Mathématiques, cette partie géométrique est particulièrement intéressante car al Khwarizmi semble ne pas s’appuyer sur les travaux déjà bien établis par les Grecs dans ce domaine, mais plus vraisemblablement sur les recherches menées principalement par les Hindous et les Hébreux.

Quand à la dernière partie de l’ouvrage, elle aborde les invraisemblables problèmes d’héritages (impliquant plusieurs épouses et de très nombreux fils et petits fils) devant respecter les complexes lois islamiques applicables en la matière.

 Al Khwarizmi rédigea aussi un remarquable ouvrage sur la numération décimale hindoue/arabe. L’original fut hélas perdu, mais heureusement il en subsista une traduction latine du plus haut intérêt. Ce fut dans ce texte que fut pour la première fois expliqué le système de numération de position à dix chiffres : 1 2 3 4 5 6 7 8 9 et 0, ainsi que rôle essentiel du ZERO dans la détermination de la position, donc du sens et de la valeur de tous les autres chiffres.

Certains pensent que l’ouvrage original comportait aussi une section relative au calcul des racines carrées. Mais cette partie ne figure pas dans la version latine.

 Al Khwarizmi n’était pas seulement un mathématicien. C’était aussi un grand Astronome. Dans son « Sindhind Zij », il effectua un travail remarquable exclusivement basé sur l’astronomie indienne. Là encore, il s’agit d’un document exceptionnel si l’on songe que pratiquement TOUS les astronomes musulmans (contemporains et postérieurs) travaillèrent quant à eux à partir des documents et hypothèses établis par les grecs, Ptolémée constituant la référence incontournable.

Pour son travail, al Khwarizmi utilisa un traité indien apporté à Bagdad vers 770 par une mission diplomatique. Il écrivit deux versions de son travail mais toutes deux ont disparu. On ne les connaît que parce que plus tard, al Majriti rédigea une analyse critique de la première version qui fit plus tard l’objet d’une traduction latine. Quant à la deuxième, la plus longue, elle fut « directement » traduite en latin. Les deux traductions ont heureusement survécu.

Les sujets principaux abordés par al Khwarizmi dans son « Sindhind Zij » sont : Les calendriers, les calculs des positions réelles du Soleil, de la Lune et des Planètes, les tables des Sinus et des Tangentes, l’Astronomie sphérique, les tables astronomiques, divers calculs de parallaxe, la détermination des éclipses et les périodes de visibilité de la Lune. Il y aurait aussi traité de problèmes de Trigonométrie sphérique, mais ce n’est pas confirmé.

Bien que ses recherches astronomiques aient été essentiellement basées sur les travaux des hindous et sur leurs tables, al Khwarizmi fut néanmoins influencé par le système astronomique de Ptolémée (révisé par Théon d’Alexandrie).

 Al Khwarizmi effectua aussi un colossal travail dans le domaine de la Géographie puisqu’il put fournir les latitudes et longitudes de pas moins de 2402 localités ! Ce travail énorme devait servir de base à l’établissement d’une carte du monde encore plus précise que tout ce qui avait été fait à ce jour. Il localisait les villes, les montagnes, les mers, les îles, les grandes régions, les fleuves, les lacs… avec une précision supérieure à celle fournie par Ptolémée… mais uniquement en ce qui concernait le Moyen Orient. Pour l’Europe, ses indications étaient très imprécises où ne constituaient que des reprises des éléments fournis par son prédécesseur.

 On lui doit encore quelques travaux « mineurs » sur l’astrolabe, le cadran solaire et le calendrier juif. Plus curieux, il écrivit aussi une histoire politique de l’Empire musulman dans laquelle une grande partie des textes est consacrée aux horoscopes des personnages importants.

Même si son œuvre mathématique ne fut pas « parfaite », il convient de bien insister sur le fait que pendant des siècles, elle constituera ce qu’il y avait de mieux. Et c’est surtout au travers de cette œuvre que les fameux « chiffres arabes » sont parvenus en Occident. Al Khwarizmi doit donc être considéré comme un des piliers des Mathématiques.